Resolver (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Resolver x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-4 por x+40 e combina os termos semellantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x e 36x para obter 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Resta 160 de -48 para obter -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Resta 2x^{3} en ambos lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} para obter 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Engadir 32x en ambos lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x e 32x para obter 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Engadir 8x^{2} en ambos lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} e 8x^{2} para obter 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Resta 128 en ambos lados.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Resta 128 de -208 para obter -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Divide ambos lados entre 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-28. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=-4 b=7$$

Reescribe x^{2}+3x-28 como \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Factoriza x no primeiro e 7 no grupo segundo.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Factoriza o termo común x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-4=0 e x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-4 por x+40 e combina os termos semellantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x e 36x para obter 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Resta 160 de -48 para obter -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Resta 2x^{3} en ambos lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} para obter 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Engadir 32x en ambos lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x e 32x para obter 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Engadir 8x^{2} en ambos lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} e 8x^{2} para obter 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Resta 128 en ambos lados.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Resta 128 de -208 para obter -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 12, b por 36 e c por -336 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 36 ao cadrado.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Suma 1296 a 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Obtén a raíz cadrada de 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-36±132}{24} se ± é máis. Suma -36 a 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Divide 96 entre 24.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-36±132}{24} se ± é menos. Resta 132 de -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Divide -168 entre 24.

$$x=-7$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=-7$$

Pasos para completar o cadrado

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-4 por x+40 e combina os termos semellantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x e 36x para obter 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Resta 160 de -48 para obter -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Resta 2x^{3} en ambos lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} para obter 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Engadir 32x en ambos lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x e 32x para obter 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Engadir 8x^{2} en ambos lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} e 8x^{2} para obter 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Engadir 208 en ambos lados.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Suma 128 e 208 para obter 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Divide ambos lados entre 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

A división entre 12 desfai a multiplicación por 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Divide 36 entre 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Divide 336 entre 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Divide 3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Suma 28 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factoriza x^{2}+3x+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=4 x=-7$$