Resolver (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Resolver para k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Resta 12 de 9 para obter -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Combina -12k e 8k para obter -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 4 por a, -4 por b e -3 por c na fórmula cadrática.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Fai os cálculos.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Resolve a ecuación k=\frac{4±8}{8} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Para que o produto sexa negativo, k-\frac{3}{2} e k+\frac{1}{2} teñen que ser de signo oposto. Considera o caso cando k-\frac{3}{2} é positivo e k+\frac{1}{2} negativo.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Isto é falso para calquera k.

$$k\in \emptyset$$

Considera o caso cando k+\frac{1}{2} é positivo e k-\frac{3}{2} negativo.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$