Resolver sqrt{x+3}=sqrt{5x}-1

$$\sqrt{ x+3 } = \sqrt{ 5x } -1$$

Resolver x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 9}{8} \approx 2.132782219$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+3} á potencia de 2 e obtén x+3.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}\right)^{2}-2\sqrt{5x}+1$$

Calcula \sqrt{5x} á potencia de 2 e obtén 5x.

$$x+3=5x-2\sqrt{5x}+1$$

Resta 5x+1 en ambos lados da ecuación.

$$x+3-\left(5x+1\right)=-2\sqrt{5x}$$

Para calcular o oposto de 5x+1, calcula o oposto de cada termo.

$$x+3-5x-1=-2\sqrt{5x}$$

Combina x e -5x para obter -4x.

$$-4x+3-1=-2\sqrt{5x}$$

Resta 1 de 3 para obter 2.

$$-4x+2=-2\sqrt{5x}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(-4x+2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-4x+2\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Calcula -2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$16x^{2}-16x+4=4\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x} á potencia de 2 e obtén 5x.

$$16x^{2}-16x+4=4\times 5x$$

Multiplica 4 e 5 para obter 20.

$$16x^{2}-16x+4=20x$$

Resta 20x en ambos lados.

$$16x^{2}-16x+4-20x=0$$

Combina -16x e -20x para obter -36x.

$$16x^{2}-36x+4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 16, b por -36 e c por 4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Eleva -36 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Multiplica -4 por 16.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-64\times 4}}{2\times 16}$$

Multiplica -64 por 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-256}}{2\times 16}$$

Suma 1296 a -256.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1040}}{2\times 16}$$

Obtén a raíz cadrada de 1040.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

O contrario de -36 é 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

Multiplica 2 por 16.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} se ± é máis. Suma 36 a 4\sqrt{65}.

$$x=\frac{4\sqrt{65}+36}{32}$$

Divide 36+4\sqrt{65} entre 32.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} se ± é menos. Resta 4\sqrt{65} de 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{65}}{32}$$

Divide 36-4\sqrt{65} entre 32.

$$x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

Substitúe x por \frac{\sqrt{65}+9}{8} na ecuación \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Simplifica. O valor x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} cumpre a ecuación.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por \frac{9-\sqrt{65}}{8} na ecuación \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{9-\sqrt{65}}{8}}-1$$

Simplifica. O valor x=\frac{9-\sqrt{65}}{8} non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por \frac{\sqrt{65}+9}{8} na ecuación \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Simplifica. O valor x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} cumpre a ecuación.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

A ecuación \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 ten unha solución única.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$