Resolver sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt { 6 + \sqrt { x + 4 } } = \sqrt { 2 x - 1 }$$

Resolver x

$$x=5$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{6+\sqrt{x+4}} á potencia de 2 e obtén 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} á potencia de 2 e obtén 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Resta 6 de -1 para obter -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+4} á potencia de 2 e obtén x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Resta 4x^{2} en ambos lados.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Engadir 28x en ambos lados.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Combina x e 28x para obter 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Resta 49 en ambos lados.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Resta 49 de 4 para obter -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -4x^{2}+ax+bx-45. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

A solución é a parella que fornece a suma 29.

$$a=20 b=9$$

Reescribe -4x^{2}+29x-45 como \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e -9 no grupo segundo.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Factoriza o termo común -x+5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+5=0 e 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Substitúe x por 5 na ecuación \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Simplifica. O valor x=5 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

Substitúe x por \frac{9}{4} na ecuación \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Simplifica. O valor x=\frac{9}{4} non cumpre a ecuación.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por 5 na ecuación \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Simplifica. O valor x=5 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

A ecuación \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} ten unha solución única.

$$x=5$$