Resolver sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

Resolver x

$$x=5$$

$$x=1$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{x-1} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+1} á potencia de 2 e obtén 3x+1.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} á potencia de 2 e obtén x-1.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

Resta 1 de 4 para obter 3.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Resta 3+x en ambos lados da ecuación.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

Para calcular o oposto de 3+x, calcula o oposto de cada termo.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

Resta 3 de 1 para obter -2.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

Combina 3x e -x para obter 2x.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula 4 á potencia de 2 e obtén 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} á potencia de 2 e obtén x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 16 por x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Resta 16x en ambos lados.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Combina -8x e -16x para obter -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Engadir 16 en ambos lados.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Suma 4 e 16 para obter 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+5. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Reescribe x^{2}-6x+5 como \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Factoriza x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Factoriza o termo común x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-5=0 e x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Substitúe x por 5 na ecuación \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Simplifica. O valor x=5 cumpre a ecuación.

$$2=2$$

Substitúe x por 1 na ecuación \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Simplifica. O valor x=1 cumpre a ecuación.

$$2=2$$

Lista de solucións para \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$