Resolver sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Resolver x

$$x=5$$

$$x=1$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{2x-1} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+1} á potencia de 2 e obtén 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} á potencia de 2 e obtén 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Resta 1 de 1 para obter 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combina 3x e -2x para obter x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} á potencia de 2 e obtén 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Resta 8x en ambos lados.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combina 2x e -8x para obter -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Suma 1 e 4 para obter 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}-6x+5 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-6 ab=5$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-5=0 e x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Substitúe x por 5 na ecuación \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Simplifica. O valor x=5 cumpre a ecuación.

$$1=1$$

Substitúe x por 1 na ecuación \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Simplifica. O valor x=1 cumpre a ecuación.

$$1=1$$

Lista de solucións para \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$