Resolver {r}{80=a+5*b}{a+b=49}

$$\left.\begin{array} { r } { 80 = a + 5 \cdot b } \\ { a + b = 49 } \end{array} \right\}$$

Resolver a, b

$$a = \frac{165}{4} = 41\frac{1}{4} = 41.25$$

$$b = \frac{31}{4} = 7\frac{3}{4} = 7.75$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+5b=80$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+5b=80,a+b=49$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+5b=80$$

Resta 5b en ambos lados da ecuación.

$$a=-5b+80$$

Substitúe a por -5b+80 na outra ecuación, a+b=49.

$$-5b+80+b=49$$

Suma -5b a b.

$$-4b+80=49$$

Resta 80 en ambos lados da ecuación.

$$-4b=-31$$

Divide ambos lados entre -4.

$$b=\frac{31}{4}$$

Substitúe b por \frac{31}{4} en a=-5b+80. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-5\times \frac{31}{4}+80$$

Multiplica -5 por \frac{31}{4}.

$$a=-\frac{155}{4}+80$$

Suma 80 a -\frac{155}{4}.

$$a=\frac{165}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{165}{4},b=\frac{31}{4}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+5b=80$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+5b=80,a+b=49$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-5}&-\frac{5}{1-5}\\-\frac{1}{1-5}&\frac{1}{1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\49\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 80+\frac{5}{4}\times 49\\\frac{1}{4}\times 80-\frac{1}{4}\times 49\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{4}\\\frac{31}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{165}{4},b=\frac{31}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$a+5b=80$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+5b=80,a+b=49$$

Resta a+b=49 de a+5b=80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$a-a+5b-b=80-49$$

Suma a a -a. a e -a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5b-b=80-49$$

Suma 5b a -b.

$$4b=80-49$$

Suma 80 a -49.

$$4b=31$$

Divide ambos lados entre 4.

$$b=\frac{31}{4}$$

Substitúe b por \frac{31}{4} en a+b=49. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a+\frac{31}{4}=49$$

Resta \frac{31}{4} en ambos lados da ecuación.

$$a=\frac{165}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{165}{4},b=\frac{31}{4}$$