Resolver {c}{x+y=12}{x=3y}

$$\left.\begin{array} { c } { x + y = 12 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=12,x-3y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=12$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+12$$

Substitúe x por -y+12 na outra ecuación, x-3y=0.

$$-y+12-3y=0$$

Suma -y a -3y.

$$-4y+12=0$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+12$$

Suma 12 a -3.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=12,x-3y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 12\\\frac{1}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=12,x-3y=0$$

Resta x-3y=0 de x+y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x+y+3y=12$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+3y=12$$

Suma y a 3y.

$$4y=12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x-3y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\times 3=0$$

Multiplica -3 por 3.

$$x-9=0$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=3$$