Resolver {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+2y=-33$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-2y-33$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -2y-33.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

Substitúe x por \frac{-2y-33}{7} na outra ecuación, x+9y=65.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

Suma -\frac{2y}{7} a 9y.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

Suma \frac{33}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{61}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

Multiplica -\frac{2}{7} por 8.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

Suma -\frac{33}{7} a -\frac{16}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Para que 7x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

Simplifica.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

Resta 7x+63y=455 de 7x+2y=-33 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-63y=-33-455$$

Suma 2y a -63y.

$$-61y=-33-455$$

Suma -33 a -455.

$$-61y=-488$$

Divide ambos lados entre -61.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x+9y=65. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+9\times 8=65$$

Multiplica 9 por 8.

$$x+72=65$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=8$$