Resolver {l}{3*x-y=12}{x-y=18}

$$\left. \begin{array}{l}{ 3 \cdot x - y = 12 }\\{ x - y = 18 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-21$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=12,x-y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=12$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+12.

$$x=\frac{1}{3}y+4$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+4 na outra ecuación, x-y=18.

$$\frac{1}{3}y+4-y=18$$

Suma \frac{y}{3} a -y.

$$-\frac{2}{3}y+4=18$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=14$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-21$$

Substitúe y por -21 en x=\frac{1}{3}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\left(-21\right)+4$$

Multiplica \frac{1}{3} por -21.

$$x=-7+4$$

Suma 4 a -7.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-21$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=12,x-y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\\frac{1}{2}\times 12-\frac{3}{2}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-21\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-21$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=12,x-y=18$$

Resta x-y=18 de 3x-y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-x-y+y=12-18$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-x=12-18$$

Suma 3x a -x.

$$2x=12-18$$

Suma 12 a -18.

$$2x=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-3$$

Substitúe x por -3 en x-y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3-y=18$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-y=21$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-21$$