Resolver {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=12$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=-15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+4y=3$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-4y+3$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{4y-3}{5} na outra ecuación, x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

Suma \frac{4y}{5} a -2y.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

Suma \frac{3}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{6}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=12$$

Substitúe y por 12 en x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

Multiplica \frac{4}{5} por 12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

Suma -\frac{3}{5} a \frac{48}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=12$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=-15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=12$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$x-2y=-15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Para que -5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

Simplifica.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

Resta -5x+10y=75 de -5x+4y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

Suma -5x a 5x. -5x e 5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-10y=3-75$$

Suma 4y a -10y.

$$-6y=3-75$$

Suma 3 a -75.

$$-6y=-72$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=12$$

Substitúe y por 12 en x-2y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times 12=-15$$

Multiplica -2 por 12.

$$x-24=-15$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=12$$