Resolver {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=25$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+25$$

Substitúe x por -4y+25 na outra ecuación, -4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

Multiplica -4 por -4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

Suma 16y a 3y.

$$19y-100=52$$

Suma 100 en ambos lados da ecuación.

$$19y=152$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=-4y+25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 8+25$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=-32+25$$

Suma 25 a -32.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Para que x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Simplifica.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Resta -4x+3y=52 de -4x-16y=-100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-16y-3y=-100-52$$

Suma -16y a -3y.

$$-19y=-100-52$$

Suma -100 a -52.

$$-19y=-152$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en -4x+3y=52. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+3\times 8=52$$

Multiplica 3 por 8.

$$-4x+24=52$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=8$$