Resolver {r}{5x-2y=-1}{x+4y=35}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = - 1 } \\ { x + 4 y = 35 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=-1$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y-1$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 2y-1.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{2y-1}{5} na outra ecuación, x+4y=35.

$$\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}+4y=35$$

Suma \frac{2y}{5} a 4y.

$$\frac{22}{5}y-\frac{1}{5}=35$$

Suma \frac{1}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{22}{5}y=\frac{176}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{22}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\times 8-\frac{1}{5}$$

Multiplica \frac{2}{5} por 8.

$$x=\frac{16-1}{5}$$

Suma -\frac{1}{5} a \frac{16}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-1\right)+\frac{1}{11}\times 35\\-\frac{1}{22}\left(-1\right)+\frac{5}{22}\times 35\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x-2y=-1,5x+5\times 4y=5\times 35$$

Simplifica.

$$5x-2y=-1,5x+20y=175$$

Resta 5x+20y=175 de 5x-2y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-2y-20y=-1-175$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-20y=-1-175$$

Suma -2y a -20y.

$$-22y=-1-175$$

Suma -1 a -175.

$$-22y=-176$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x+4y=35. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+4\times 8=35$$

Multiplica 4 por 8.

$$x+32=35$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=8$$