Resolver {r}{2x+5y=33}{x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=33$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+33$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+33.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

Substitúe x por \frac{-5y+33}{2} na outra ecuación, x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

Suma -\frac{5y}{2} a 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

Resta \frac{33}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por 5.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

Suma \frac{33}{2} a -\frac{25}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

Simplifica.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

Resta 2x+6y=38 de 2x+5y=33 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-6y=33-38$$

Suma 5y a -6y.

$$-y=33-38$$

Suma 33 a -38.

$$-y=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+3y=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\times 5=19$$

Multiplica 3 por 5.

$$x+15=19$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=5$$