Resolver {r}{2x+3y=-9}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = - 9 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=-9$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y-9$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y-9.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y-9}{2} na outra ecuación, x-y=3.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}-y=3$$

Suma -\frac{3y}{2} a -y.

$$-\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=3$$

Suma \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -3.

$$x=\frac{9-9}{2}$$

Suma -\frac{9}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{3}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\left(-9\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+3y=-9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 3$$

Simplifica.

$$2x+3y=-9,2x-2y=6$$

Resta 2x-2y=6 de 2x+3y=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+3y+2y=-9-6$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+2y=-9-6$$

Suma 3y a 2y.

$$5y=-9-6$$

Suma -9 a -6.

$$5y=-15$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x-y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\left(-3\right)=3$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-3$$