Resolver {l}{y-x=12}{y=2x+5}

$$\left. \begin{array} { l } { y - x = 12 } \\ { y = 2 x + 5 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=7$$

$$y=19$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=12,y-2x=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=12$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+12$$

Substitúe y por x+12 na outra ecuación, y-2x=5.

$$x+12-2x=5$$

Suma x a -2x.

$$-x+12=5$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en y=x+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=7+12$$

Suma 12 a 7.

$$y=19$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=19,x=7$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=12,y-2x=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&\frac{1}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 12-5\\12-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=19,x=7$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=12,y-2x=5$$

Resta y-2x=5 de y-x=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-x+2x=12-5$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x+2x=12-5$$

Suma -x a 2x.

$$x=12-5$$

Suma 12 a -5.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en y-2x=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2\times 7=5$$

Multiplica -2 por 7.

$$y-14=5$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$y=19$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=19,x=7$$