Resolver {l}{y=x+1}{y=5-x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1 } \\ { y = 5 - x } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=1,y+x=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=1$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+1$$

Substitúe y por x+1 na outra ecuación, y+x=5.

$$x+1+x=5$$

Suma x a x.

$$2x+1=5$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2+1$$

Suma 1 a 2.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=1,y+x=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=3,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=1,y+x=5$$

Resta y+x=5 de y-x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-x-x=1-5$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-x=1-5$$

Suma -x a -x.

$$-2x=1-5$$

Suma 1 a -5.

$$-2x=-4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y+x=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+2=5$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=2$$