Resolver {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Combina y e y para obter 2y.

$$x+2y=315.9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-6x=0$$

Suma 6x en ambos lados da ecuación.

$$y=6x$$

Substitúe y por 6x na outra ecuación, 2y+x=315.9.

$$2\times 6x+x=315.9$$

Multiplica 2 por 6x.

$$12x+x=315.9$$

Suma 12x a x.

$$13x=315.9$$

Divide ambos lados entre 13.

$$x=24.3$$

Substitúe x por 24.3 en y=6x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=6\times 24.3$$

Multiplica 6 por 24.3.

$$y=145.8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=145.8,x=24.3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Combina y e y para obter 2y.

$$x+2y=315.9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Combina y e y para obter 2y.

$$x+2y=315.9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

Simplifica.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

Resta 2y+x=315.9 de 2y-12x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12x-x=-315.9$$

Suma -12x a -x.

$$-13x=-315.9$$

Divide ambos lados entre -13.

$$x=\frac{243}{10}$$

Substitúe x por \frac{243}{10} en 2y+x=315.9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

Resta \frac{243}{10} en ambos lados da ecuación.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{729}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$