Resolver {l}{y=3x-4}{y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 4 } \\ { y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-3x=-4$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=3x-4$$

Substitúe y por 3x-4 na outra ecuación, y-x=1.

$$3x-4-x=1$$

Suma 3x a -x.

$$2x-4=1$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$2x=5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5}{2} en y=3x-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3\times \frac{5}{2}-4$$

Multiplica 3 por \frac{5}{2}.

$$y=\frac{15}{2}-4$$

Suma -4 a \frac{15}{2}.

$$y=\frac{7}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-3x=-4,y-x=1$$

Resta y-x=1 de y-3x=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-3x+x=-4-1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3x+x=-4-1$$

Suma -3x a x.

$$-2x=-4-1$$

Suma -4 a -1.

$$-2x=-5$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{5}{2} en y-x=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{5}{2}=1$$

Suma \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{7}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{7}{2},x=\frac{5}{2}$$