Resolver {l}{y=-2x+1}{y=6x-15}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 6 x - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=-15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+2x=1,y-6x=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+2x=1$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=-2x+1$$

Substitúe y por -2x+1 na outra ecuación, y-6x=-15.

$$-2x+1-6x=-15$$

Suma -2x a -6x.

$$-8x+1=-15$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-16$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-2x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2\times 2+1$$

Multiplica -2 por 2.

$$y=-4+1$$

Suma 1 a -4.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-3,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=-15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+2x=1,y-6x=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-2}&-\frac{2}{-6-2}\\-\frac{1}{-6-2}&\frac{1}{-6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(-15\right)\\\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-3,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=-15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+2x=1,y-6x=-15$$

Resta y-6x=-15 de y+2x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+2x+6x=1+15$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x+6x=1+15$$

Suma 2x a 6x.

$$8x=1+15$$

Suma 1 a 15.

$$8x=16$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y-6x=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-6\times 2=-15$$

Multiplica -6 por 2.

$$y-12=-15$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-3,x=2$$