Resolver {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{x}{3} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y-x=-9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$3y-x=-9$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$3y=x-9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por x-9.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

Substitúe y por \frac{x}{3}-3 na outra ecuación, y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

Suma \frac{x}{3} a 4x.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{3}x=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y=\frac{1}{3}x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-3,x=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{x}{3} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y-x=-9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-3,x=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{x}{3} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y-x=-9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Para que 3y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

Resta 3y+12x=-9 de 3y-x=-9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-12x=-9+9$$

Suma -x a -12x.

$$-13x=-9+9$$

Suma -9 a 9.

$$-13x=0$$

Divide ambos lados entre -13.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y+4x=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-3,x=0$$