Resolver {l}{y=1/3x+4}{y=x+10}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 4 } \\ { y = x + 10 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-9$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=10$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Suma \frac{x}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{3}x+4$$

Substitúe y por \frac{x}{3}+4 na outra ecuación, y-x=10.

$$\frac{1}{3}x+4-x=10$$

Suma \frac{x}{3} a -x.

$$-\frac{2}{3}x+4=10$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}x=6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-9$$

Substitúe x por -9 en y=\frac{1}{3}x+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{3}\left(-9\right)+4$$

Multiplica \frac{1}{3} por -9.

$$y=-3+4$$

Suma 4 a -3.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-9$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=10$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 10\\\frac{3}{2}\times 4-\frac{3}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=1,x=-9$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=10$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{3}x=4,y-x=10$$

Resta y-x=10 de y-\frac{1}{3}x=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{3}x+x=4-10$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}x+x=4-10$$

Suma -\frac{x}{3} a x.

$$\frac{2}{3}x=4-10$$

Suma 4 a -10.

$$\frac{2}{3}x=-6$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-9$$

Substitúe x por -9 en y-x=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\left(-9\right)=10$$

Multiplica -1 por -9.

$$y+9=10$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-9$$