Resolver {l}{x-y=2}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+2$$

Substitúe x por y+2 na outra ecuación, 2x+y=4.

$$2\left(y+2\right)+y=4$$

Multiplica 2 por y+2.

$$2y+4+y=4$$

Suma 2y a y.

$$3y+4=4$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$3y=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=2,2x+y=4$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2,2x+y=4$$

Simplifica.

$$2x-2y=4,2x+y=4$$

Resta 2x+y=4 de 2x-2y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-2y-y=4-4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-y=4-4$$

Suma -2y a -y.

$$-3y=4-4$$

Suma 4 a -4.

$$-3y=0$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$