Resolver {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, z

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-29z=15$$

Suma 29z en ambos lados da ecuación.

$$x=29z+15$$

Substitúe x por 29z+15 na outra ecuación, 4x+3z=-2.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

Multiplica 4 por 29z+15.

$$116z+60+3z=-2$$

Suma 116z a 3z.

$$119z+60=-2$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$119z=-62$$

Divide ambos lados entre 119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Substitúe z por -\frac{62}{119} en x=29z+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

Multiplica 29 por -\frac{62}{119}.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

Suma 15 a -\frac{1798}{119}.

$$x=-\frac{13}{119}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e z.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

Simplifica.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

Resta 4x+3z=-2 de 4x-116z=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-116z-3z=60+2$$

Suma -116z a -3z.

$$-119z=60+2$$

Suma 60 a 2.

$$-119z=62$$

Divide ambos lados entre -119.

$$z=-\frac{62}{119}$$

Substitúe z por -\frac{62}{119} en 4x+3z=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

Multiplica 3 por -\frac{62}{119}.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

Suma \frac{186}{119} en ambos lados da ecuación.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-\frac{13}{119}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$