Resolver {l}{x=y+4}{4x-y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { x = y + 4 } \\ { 4 x - y = 22 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=4,4x-y=22$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+4$$

Substitúe x por y+4 na outra ecuación, 4x-y=22.

$$4\left(y+4\right)-y=22$$

Multiplica 4 por y+4.

$$4y+16-y=22$$

Suma 4y a -y.

$$3y+16=22$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$3y=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2+4$$

Suma 4 a 2.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=4,4x-y=22$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 22\\-\frac{4}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=4,4x-y=22$$

Resta 4x-y=22 de x-y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-4x-y+y=4-22$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-4x=4-22$$

Suma x a -4x.

$$-3x=4-22$$

Suma 4 a -22.

$$-3x=-18$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 4x-y=22. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4\times 6-y=22$$

Multiplica 4 por 6.

$$24-y=22$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=2$$