Resolver {l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=12$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=17$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+17$$

Substitúe x por -y+17 na outra ecuación, 2.6x+3.5y=55.

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

Multiplica 2.6 por -y+17.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

Suma -\frac{13y}{5} a \frac{7y}{2}.

$$0.9y+44.2=55$$

Resta 44.2 en ambos lados da ecuación.

$$0.9y=10.8$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.9, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=12$$

Substitúe y por 12 en x=-y+17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-12+17$$

Suma 17 a -12.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=12$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=12$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Para que x e \frac{13x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2.6 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

Simplifica.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

Resta 2.6x+3.5y=55 de 2.6x+2.6y=44.2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

Suma \frac{13x}{5} a -\frac{13x}{5}. \frac{13x}{5} e -\frac{13x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

Suma \frac{13y}{5} a -\frac{7y}{2}.

$$-0.9y=44.2-55$$

Suma 44.2 a -55.

$$-0.9y=-10.8$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.9, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=12$$

Substitúe y por 12 en 2.6x+3.5y=55. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

Multiplica 3.5 por 12.

$$2.6x+42=55$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$2.6x=13$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=12$$