Resolver {l}{x+7=y}{4y+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 7 = y } \\ { 4 y + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+7-y=0$$

Resta 7 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=-7,3x+4y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=-7$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y-7$$

Substitúe x por y-7 na outra ecuación, 3x+4y=0.

$$3\left(y-7\right)+4y=0$$

Multiplica 3 por y-7.

$$3y-21+4y=0$$

Suma 3y a 4y.

$$7y-21=0$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$7y=21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=y-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3-7$$

Suma -7 a 3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+7-y=0$$

Resta 7 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=-7,3x+4y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-7\right)\\-\frac{3}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x+7-y=0$$

Resta 7 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$x-y=-7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=-7,3x+4y=0$$

Para que x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-7\right),3x+4y=0$$

Simplifica.

$$3x-3y=-21,3x+4y=0$$

Resta 3x+4y=0 de 3x-3y=-21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-3y-4y=-21$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-4y=-21$$

Suma -3y a -4y.

$$-7y=-21$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 3x+4y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\times 3=0$$

Multiplica 4 por 3.

$$3x+12=0$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=3$$