Resolver {l}{x+3y=4}{9x+7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { 9 x + 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=4,9x+7y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=4$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+4$$

Substitúe x por -3y+4 na outra ecuación, 9x+7y=1.

$$9\left(-3y+4\right)+7y=1$$

Multiplica 9 por -3y+4.

$$-27y+36+7y=1$$

Suma -27y a 7y.

$$-20y+36=1$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$-20y=-35$$

Divide ambos lados entre -20.

$$y=\frac{7}{4}$$

Substitúe y por \frac{7}{4} en x=-3y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times \frac{7}{4}+4$$

Multiplica -3 por \frac{7}{4}.

$$x=-\frac{21}{4}+4$$

Suma 4 a -\frac{21}{4}.

$$x=-\frac{5}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{4},y=\frac{7}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=4,9x+7y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-3\times 9}&-\frac{3}{7-3\times 9}\\-\frac{9}{7-3\times 9}&\frac{1}{7-3\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{20}\times 4+\frac{3}{20}\\\frac{9}{20}\times 4-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{5}{4},y=\frac{7}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=4,9x+7y=1$$

Para que x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$9x+9\times 3y=9\times 4,9x+7y=1$$

Simplifica.

$$9x+27y=36,9x+7y=1$$

Resta 9x+7y=1 de 9x+27y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$9x-9x+27y-7y=36-1$$

Suma 9x a -9x. 9x e -9x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$27y-7y=36-1$$

Suma 27y a -7y.

$$20y=36-1$$

Suma 36 a -1.

$$20y=35$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=\frac{7}{4}$$

Substitúe y por \frac{7}{4} en 9x+7y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x+7\times \frac{7}{4}=1$$

Multiplica 7 por \frac{7}{4}.

$$9x+\frac{49}{4}=1$$

Resta \frac{49}{4} en ambos lados da ecuación.

$$9x=-\frac{45}{4}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=-\frac{5}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{4},y=\frac{7}{4}$$