Resolver {l}{x+3y=2}{y-x=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 2 } \\ { y - x = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+3y=2,-x+y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+3y=2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=-3y+2$$

Substitúe x por -3y+2 na outra ecuación, -x+y=-1.

$$-\left(-3y+2\right)+y=-1$$

Multiplica -1 por -3y+2.

$$3y-2+y=-1$$

Suma 3y a y.

$$4y-2=-1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$4y=1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{1}{4}$$

Substitúe y por \frac{1}{4} en x=-3y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\times \frac{1}{4}+2$$

Multiplica -3 por \frac{1}{4}.

$$x=-\frac{3}{4}+2$$

Suma 2 a -\frac{3}{4}.

$$x=\frac{5}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{1}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+3y=2,-x+y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-3\left(-1\right)}&\frac{1}{1-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2-\frac{3}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{1}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+3y=2,-x+y=-1$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-3y=-2,-x+y=-1$$

Resta -x+y=-1 de -x-3y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x-3y-y=-2+1$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-y=-2+1$$

Suma -3y a -y.

$$-4y=-2+1$$

Suma -2 a 1.

$$-4y=-1$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=\frac{1}{4}$$

Substitúe y por \frac{1}{4} en -x+y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+\frac{1}{4}=-1$$

Resta \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-x=-\frac{5}{4}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=\frac{5}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{4},y=\frac{1}{4}$$