Resolver {l}{X-Y=1}{X+Y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { X - Y = 1 } \\ { X + Y = - 9 } \end{array} \right.$$

Resolver X, Y

$$X=-4$$

$$Y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$X-Y=1,X+Y=-9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a X mediante o illamento de X no lado esquerdo do signo igual.

$$X-Y=1$$

Suma Y en ambos lados da ecuación.

$$X=Y+1$$

Substitúe X por Y+1 na outra ecuación, X+Y=-9.

$$Y+1+Y=-9$$

Suma Y a Y.

$$2Y+1=-9$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$2Y=-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$Y=-5$$

Substitúe Y por -5 en X=Y+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar X directamente.

$$X=-5+1$$

Suma 1 a -5.

$$X=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$X=-4,Y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$X-Y=1,X+Y=-9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-9\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz X e Y.

$$X=-4,Y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$X-Y=1,X+Y=-9$$

Resta X+Y=-9 de X-Y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$X-X-Y-Y=1+9$$

Suma X a -X. X e -X anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-Y-Y=1+9$$

Suma -Y a -Y.

$$-2Y=1+9$$

Suma 1 a 9.

$$-2Y=10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$Y=-5$$

Substitúe Y por -5 en X+Y=-9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar X directamente.

$$X-5=-9$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$X=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$X=-4,Y=-5$$