Resolver {l}{7x-5y=-22}{4x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = - 22 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x-5y=-22$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$7x=5y-22$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(5y-22\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por 5y-22.

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}$$

Substitúe x por \frac{5y-22}{7} na outra ecuación, 4x+3y=5.

$$4\left(\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}\right)+3y=5$$

Multiplica 4 por \frac{5y-22}{7}.

$$\frac{20}{7}y-\frac{88}{7}+3y=5$$

Suma \frac{20y}{7} a 3y.

$$\frac{41}{7}y-\frac{88}{7}=5$$

Suma \frac{88}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{41}{7}y=\frac{123}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{41}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{7}\times 3-\frac{22}{7}$$

Multiplica \frac{5}{7} por 3.

$$x=\frac{15-22}{7}$$

Suma -\frac{22}{7} a \frac{15}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{7}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-22\right)+\frac{5}{41}\times 5\\-\frac{4}{41}\left(-22\right)+\frac{7}{41}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Para que 7x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$4\times 7x+4\left(-5\right)y=4\left(-22\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 5$$

Simplifica.

$$28x-20y=-88,28x+21y=35$$

Resta 28x+21y=35 de 28x-20y=-88 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x-20y-21y=-88-35$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y-21y=-88-35$$

Suma -20y a -21y.

$$-41y=-88-35$$

Suma -88 a -35.

$$-41y=-123$$

Divide ambos lados entre -41.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 4x+3y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\times 3=5$$

Multiplica 3 por 3.

$$4x+9=5$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$