Resolver {l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-6y=-30$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$6x=6y-30$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -30+6y.

$$x=y-5$$

Substitúe x por y-5 na outra ecuación, -10x+6y=22.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

Multiplica -10 por y-5.

$$-10y+50+6y=22$$

Suma -10y a 6y.

$$-4y+50=22$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=-28$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=7-5$$

Suma -5 a 7.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Para que 6x e -10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -10 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

Simplifica.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

Resta -60x+36y=132 de -60x+60y=300 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

Suma -60x a 60x. -60x e 60x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$60y-36y=300-132$$

Suma 60y a -36y.

$$24y=300-132$$

Suma 300 a -132.

$$24y=168$$

Divide ambos lados entre 24.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en -10x+6y=22. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-10x+6\times 7=22$$

Multiplica 6 por 7.

$$-10x+42=22$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$-10x=-20$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=7$$