Resolver {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7y en ambos lados.

$$6x-7y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x-14y=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x-7y=4$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$6x=7y+4$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por 7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} na outra ecuación, 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

Multiplica 2 por \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Suma \frac{7y}{3} a -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{35}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{5}$$

Substitúe y por \frac{1}{5} en x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{7}{6} por \frac{1}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Suma \frac{2}{3} a \frac{7}{30} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{10}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7y en ambos lados.

$$6x-7y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x-14y=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 7y en ambos lados.

$$6x-7y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 1 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2x-14y=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Para que 6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Resta 12x-84y=-6 de 12x-14y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y+84y=8+6$$

Suma -14y a 84y.

$$70y=8+6$$

Suma 8 a 6.

$$70y=14$$

Divide ambos lados entre 70.

$$y=\frac{1}{5}$$

Substitúe y por \frac{1}{5} en 2x-14y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

Multiplica -14 por \frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Suma \frac{14}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{9}{10}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$