Resolver {l}{6x+12y=-6}{2x+5y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 12 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+12y=-6$$

Resta 12y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-12y-6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-12y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -12y-6.

$$x=-2y-1$$

Substitúe x por -2y-1 na outra ecuación, 2x+5y=0.

$$2\left(-2y-1\right)+5y=0$$

Multiplica 2 por -2y-1.

$$-4y-2+5y=0$$

Suma -4y a 5y.

$$y-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-2y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 2-1$$

Multiplica -2 por 2.

$$x=-4-1$$

Suma -1 a -4.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-12\times 2}&-\frac{12}{6\times 5-12\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-12\times 2}&\frac{6}{6\times 5-12\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-2\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

Para que 6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$2\times 6x+2\times 12y=2\left(-6\right),6\times 2x+6\times 5y=0$$

Simplifica.

$$12x+24y=-12,12x+30y=0$$

Resta 12x+30y=0 de 12x+24y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+24y-30y=-12$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y-30y=-12$$

Suma 24y a -30y.

$$-6y=-12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 2x+5y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+5\times 2=0$$

Multiplica 5 por 2.

$$2x+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=2$$