Resolver {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$5y+4x=-13$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$5y+4x=-13$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$5y=-4x-13$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Substitúe y por \frac{-4x-13}{5} na outra ecuación, 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

Multiplica 6 por \frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

Suma -\frac{24x}{5} a 3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Suma \frac{78}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Substitúe x por -\frac{143}{9} en y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Multiplica -\frac{4}{5} por -\frac{143}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Suma -\frac{13}{5} a \frac{572}{45} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{91}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$5y+4x=-13$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$5y+4x=-13$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Para que 5y e 6y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Simplifica.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Resta 30y+15x=65 de 30y+24x=-78 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

Suma 30y a -30y. 30y e -30y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24x-15x=-78-65$$

Suma 24x a -15x.

$$9x=-78-65$$

Suma -78 a -65.

$$9x=-143$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Substitúe x por -\frac{143}{9} en 6y+3x=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

Multiplica 3 por -\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Suma \frac{143}{3} en ambos lados da ecuación.

$$6y=\frac{182}{3}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=\frac{91}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$