Resolver {l}{5x-5y=-5}{-5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = - 5 } \\ { - 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-5y=-5$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$5x=5y-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -5+5y.

$$x=y-1$$

Substitúe x por y-1 na outra ecuación, -5x+6y=1.

$$-5\left(y-1\right)+6y=1$$

Multiplica -5 por y-1.

$$-5y+5+6y=1$$

Suma -5y a 6y.

$$y+5=1$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4-1$$

Suma -1 a -4.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\left(-5\right)+1\\-5+1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Para que 5x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-5\times 5x-5\left(-5\right)y=-5\left(-5\right),5\left(-5\right)x+5\times 6y=5$$

Simplifica.

$$-25x+25y=25,-25x+30y=5$$

Resta -25x+30y=5 de -25x+25y=25 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-25x+25x+25y-30y=25-5$$

Suma -25x a 25x. -25x e 25x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25y-30y=25-5$$

Suma 25y a -30y.

$$-5y=25-5$$

Suma 25 a -5.

$$-5y=20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en -5x+6y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+6\left(-4\right)=1$$

Multiplica 6 por -4.

$$-5x-24=1$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=25$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-4$$