Resolver {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1200$$

$$y=1400$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=1800$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+1800$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

Substitúe x por \frac{3y}{5}+360 na outra ecuación, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

Multiplica 6 por \frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

Suma \frac{18y}{5} a -4y.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

Resta 2160 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1400$$

Substitúe y por 1400 en x=\frac{3}{5}y+360. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

Multiplica \frac{3}{5} por 1400.

$$x=840+360$$

Suma 360 a 840.

$$x=1200$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1200,y=1400$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1200,y=1400$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Para que 5x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

Simplifica.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

Resta 30x-20y=8000 de 30x-18y=10800 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

Suma 30x a -30x. 30x e -30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18y+20y=10800-8000$$

Suma -18y a 20y.

$$2y=10800-8000$$

Suma 10800 a -8000.

$$2y=2800$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=1400$$

Substitúe y por 1400 en 6x-4y=1600. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-4\times 1400=1600$$

Multiplica -4 por 1400.

$$6x-5600=1600$$

Suma 5600 en ambos lados da ecuación.

$$6x=7200$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=1200$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1200,y=1400$$