Resolver {l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=13$$

$$y=17$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$5x-14-3y=0$$

Engadir 14 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-3y=14$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Divide 35 entre 7 para obter 5.

$$3x-2y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=14$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+14$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+14}{5} na outra ecuación, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

Multiplica 3 por \frac{3y+14}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

Suma \frac{9y}{5} a -2y.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

Resta \frac{42}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Multiplica ambos lados por -5.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por 17.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

Suma \frac{14}{5} a \frac{51}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=13$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=13,y=17$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$5x-14-3y=0$$

Engadir 14 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-3y=14$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Divide 35 entre 7 para obter 5.

$$3x-2y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=13,y=17$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$5x-14-3y=0$$

Engadir 14 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x-3y=14$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Divide 35 entre 7 para obter 5.

$$3x-2y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

Simplifica.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

Resta 15x-10y=25 de 15x-9y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y+10y=42-25$$

Suma -9y a 10y.

$$y=42-25$$

Suma 42 a -25.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en 3x-2y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times 17=5$$

Multiplica -2 por 17.

$$3x-34=5$$

Suma 34 en ambos lados da ecuación.

$$3x=39$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=13$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=13,y=17$$