Resolver {l}{5x-10y=12}{-6x-10y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 10 y = 12 } \\ { - 6 x - 10 y = 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = -\frac{147}{110} = -1\frac{37}{110} \approx -1.336363636$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-10y=12,-6x-10y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-10y=12$$

Suma 10y en ambos lados da ecuación.

$$5x=10y+12$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(10y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 10y+12.

$$x=2y+\frac{12}{5}$$

Substitúe x por 2y+\frac{12}{5} na outra ecuación, -6x-10y=15.

$$-6\left(2y+\frac{12}{5}\right)-10y=15$$

Multiplica -6 por 2y+\frac{12}{5}.

$$-12y-\frac{72}{5}-10y=15$$

Suma -12y a -10y.

$$-22y-\frac{72}{5}=15$$

Suma \frac{72}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-22y=\frac{147}{5}$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=-\frac{147}{110}$$

Substitúe y por -\frac{147}{110} en x=2y+\frac{12}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-\frac{147}{110}\right)+\frac{12}{5}$$

Multiplica 2 por -\frac{147}{110}.

$$x=-\frac{147}{55}+\frac{12}{5}$$

Suma \frac{12}{5} a -\frac{147}{55} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{147}{110}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-10y=12,-6x-10y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}&-\frac{-10}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{3}{55}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12-\frac{1}{11}\times 15\\-\frac{3}{55}\times 12-\frac{1}{22}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\-\frac{147}{110}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{147}{110}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-10y=12,-6x-10y=15$$

Resta -6x-10y=15 de 5x-10y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x+6x-10y+10y=12-15$$

Suma -10y a 10y. -10y e 10y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x+6x=12-15$$

Suma 5x a 6x.

$$11x=12-15$$

Suma 12 a -15.

$$11x=-3$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=-\frac{3}{11}$$

Substitúe x por -\frac{3}{11} en -6x-10y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-6\left(-\frac{3}{11}\right)-10y=15$$

Multiplica -6 por -\frac{3}{11}.

$$\frac{18}{11}-10y=15$$

Resta \frac{18}{11} en ambos lados da ecuación.

$$-10y=\frac{147}{11}$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-\frac{147}{110}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{147}{110}$$