Resolver {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+y=9.95$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-y+9.95$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -y+9.95.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

Substitúe x por -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} na outra ecuación, 6x+6y=18.6.

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

Multiplica 6 por -\frac{y}{5}+\frac{199}{100}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

Suma -\frac{6y}{5} a 6y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

Resta \frac{597}{50} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{24}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{111}{80}$$

Substitúe y por \frac{111}{80} en x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por \frac{111}{80} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

Suma \frac{199}{100} a -\frac{111}{400} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{137}{80}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Para que 5x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

Simplifica.

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

Resta 30x+30y=93 de 30x+6y=59.7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

Suma 30x a -30x. 30x e -30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-30y=59.7-93$$

Suma 6y a -30y.

$$-24y=59.7-93$$

Suma 59.7 a -93.

$$-24y=-33.3$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=\frac{111}{80}$$

Substitúe y por \frac{111}{80} en 6x+6y=18.6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

Multiplica 6 por \frac{111}{80}.

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

Resta \frac{333}{40} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{411}{40}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{137}{80}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$