Resolver {l}{5x+7y=71}{8x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 71 } \\ { 8 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{283}{71} = 3\frac{70}{71} \approx 3.985915493$$

$$y = \frac{518}{71} = 7\frac{21}{71} \approx 7.295774648$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+7y=71$$

Resta 7y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-7y+71$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+71\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -7y+71.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}$$

Substitúe x por \frac{-7y+71}{5} na outra ecuación, 8x-3y=10.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}\right)-3y=10$$

Multiplica 8 por \frac{-7y+71}{5}.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{568}{5}-3y=10$$

Suma -\frac{56y}{5} a -3y.

$$-\frac{71}{5}y+\frac{568}{5}=10$$

Resta \frac{568}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{71}{5}y=-\frac{518}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{71}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{518}{71}$$

Substitúe y por \frac{518}{71} en x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{5}\times \frac{518}{71}+\frac{71}{5}$$

Multiplica -\frac{7}{5} por \frac{518}{71} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3626}{355}+\frac{71}{5}$$

Suma \frac{71}{5} a -\frac{3626}{355} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{283}{71}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-7\times 8}&-\frac{7}{5\left(-3\right)-7\times 8}\\-\frac{8}{5\left(-3\right)-7\times 8}&\frac{5}{5\left(-3\right)-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}&\frac{7}{71}\\\frac{8}{71}&-\frac{5}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}\times 71+\frac{7}{71}\times 10\\\frac{8}{71}\times 71-\frac{5}{71}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{283}{71}\\\frac{518}{71}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Para que 5x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 71,5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

Simplifica.

$$40x+56y=568,40x-15y=50$$

Resta 40x-15y=50 de 40x+56y=568 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x+56y+15y=568-50$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$56y+15y=568-50$$

Suma 56y a 15y.

$$71y=568-50$$

Suma 568 a -50.

$$71y=518$$

Divide ambos lados entre 71.

$$y=\frac{518}{71}$$

Substitúe y por \frac{518}{71} en 8x-3y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-3\times \frac{518}{71}=10$$

Multiplica -3 por \frac{518}{71}.

$$8x-\frac{1554}{71}=10$$

Suma \frac{1554}{71} en ambos lados da ecuación.

$$8x=\frac{2264}{71}$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{283}{71}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$