Resolver {l}{5x+3y=7}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{43}{26} = 1\frac{17}{26} \approx 1.653846154$$

$$y=-\frac{11}{26}\approx -0.423076923$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=7,2x-4y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=7$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y+7}{5} na outra ecuación, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)-4y=5$$

Multiplica 2 por \frac{-3y+7}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{14}{5}-4y=5$$

Suma -\frac{6y}{5} a -4y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{14}{5}=5$$

Resta \frac{14}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{11}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{26}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{11}{26}$$

Substitúe y por -\frac{11}{26} en x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-\frac{11}{26}\right)+\frac{7}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por -\frac{11}{26} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{33}{130}+\frac{7}{5}$$

Suma \frac{7}{5} a \frac{33}{130} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{43}{26}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{43}{26},y=-\frac{11}{26}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=7,2x-4y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\\\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\\\frac{1}{13}\times 7-\frac{5}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{26}\\-\frac{11}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{43}{26},y=-\frac{11}{26}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=7,2x-4y=5$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 7,5\times 2x+5\left(-4\right)y=5\times 5$$

Simplifica.

$$10x+6y=14,10x-20y=25$$

Resta 10x-20y=25 de 10x+6y=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+6y+20y=14-25$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+20y=14-25$$

Suma 6y a 20y.

$$26y=14-25$$

Suma 14 a -25.

$$26y=-11$$

Divide ambos lados entre 26.

$$y=-\frac{11}{26}$$

Substitúe y por -\frac{11}{26} en 2x-4y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-4\left(-\frac{11}{26}\right)=5$$

Multiplica -4 por -\frac{11}{26}.

$$2x+\frac{22}{13}=5$$

Resta \frac{22}{13} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{43}{13}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{43}{26}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{43}{26},y=-\frac{11}{26}$$