Resolver {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=51$$

$$y=65$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=450$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+450$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Substitúe x por -\frac{3y}{5}+90 na outra ecuación, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

Multiplica 3 por -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Suma -\frac{9y}{5} a 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Resta 270 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=65$$

Substitúe y por 65 en x=-\frac{3}{5}y+90. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

Multiplica -\frac{3}{5} por 65.

$$x=-39+90$$

Suma 90 a -39.

$$x=51$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=51,y=65$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=51,y=65$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Simplifica.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Resta 15x+20y=2065 de 15x+9y=1350 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-20y=1350-2065$$

Suma 9y a -20y.

$$-11y=1350-2065$$

Suma 1350 a -2065.

$$-11y=-715$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=65$$

Substitúe y por 65 en 3x+4y=413. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+4\times 65=413$$

Multiplica 4 por 65.

$$3x+260=413$$

Resta 260 en ambos lados da ecuación.

$$3x=153$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=51$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=51,y=65$$