Resolver {l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+2$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y+2}{5} na outra ecuación, -3x+12y=0.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

Multiplica -3 por \frac{-3y+2}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

Suma \frac{9y}{5} a 12y.

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

Suma \frac{6}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{69}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{2}{23}$$

Substitúe y por \frac{2}{23} en x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por \frac{2}{23} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

Suma \frac{2}{5} a -\frac{6}{115} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{8}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Para que 5x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

Simplifica.

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

Resta -15x+60y=0 de -15x-9y=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

Suma -15x a 15x. -15x e 15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-60y=-6$$

Suma -9y a -60y.

$$-69y=-6$$

Divide ambos lados entre -69.

$$y=\frac{2}{23}$$

Substitúe y por \frac{2}{23} en -3x+12y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

Multiplica 12 por \frac{2}{23}.

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

Resta \frac{24}{23} en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=\frac{8}{23}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$