Resolver {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+2y=3$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-2y+3$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -2y+3.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{-2y+3}{5} na outra ecuación, 12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

Multiplica 12 por \frac{-2y+3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

Suma -\frac{24y}{5} a 7y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

Resta \frac{36}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{26}{11}$$

Substitúe y por -\frac{26}{11} en x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

Multiplica -\frac{2}{5} por -\frac{26}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

Suma \frac{3}{5} a \frac{52}{55} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{17}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Para que 5x e 12x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 12 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

Simplifica.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

Resta 60x+35y=10 de 60x+24y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

Suma 60x a -60x. 60x e -60x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y-35y=36-10$$

Suma 24y a -35y.

$$-11y=36-10$$

Suma 36 a -10.

$$-11y=26$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=-\frac{26}{11}$$

Substitúe y por -\frac{26}{11} en 12x+7y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

Multiplica 7 por -\frac{26}{11}.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

Suma \frac{182}{11} en ambos lados da ecuación.

$$12x=\frac{204}{11}$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{17}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$