Resolver {l}{4y+3x=8}{3x-9y=-77}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y + 3 x = 8 } \\ { 3 x - 9 y = - 77 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = -\frac{236}{39} = -6\frac{2}{39} \approx -6.051282051$$

$$y = \frac{85}{13} = 6\frac{7}{13} \approx 6.538461538$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$4y+3x=8$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$4y=-3x+8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-3x+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3x+8.

$$y=-\frac{3}{4}x+2$$

Substitúe y por -\frac{3x}{4}+2 na outra ecuación, -9y+3x=-77.

$$-9\left(-\frac{3}{4}x+2\right)+3x=-77$$

Multiplica -9 por -\frac{3x}{4}+2.

$$\frac{27}{4}x-18+3x=-77$$

Suma \frac{27x}{4} a 3x.

$$\frac{39}{4}x-18=-77$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{39}{4}x=-59$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{39}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-\frac{236}{39}$$

Substitúe x por -\frac{236}{39} en y=-\frac{3}{4}x+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{236}{39}\right)+2$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -\frac{236}{39} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{59}{13}+2$$

Suma 2 a \frac{59}{13}.

$$y=\frac{85}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\times 3-3\left(-9\right)}&\frac{4}{4\times 3-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 8-\frac{1}{13}\left(-77\right)\\\frac{3}{13}\times 8+\frac{4}{39}\left(-77\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{13}\\-\frac{236}{39}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Resta -9y+3x=-77 de 4y+3x=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4y+9y+3x-3x=8+77$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y+9y=8+77$$

Suma 4y a 9y.

$$13y=8+77$$

Suma 8 a 77.

$$13y=85$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=\frac{85}{13}$$

Substitúe y por \frac{85}{13} en -9y+3x=-77. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9\times \frac{85}{13}+3x=-77$$

Multiplica -9 por \frac{85}{13}.

$$-\frac{765}{13}+3x=-77$$

Suma \frac{765}{13} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{236}{13}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{236}{39}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$