Resolver {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$4x+3y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$5y+5x=12$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=9$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+9}{4} na outra ecuación, 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Multiplica 5 por \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Suma -\frac{15y}{4} a 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Resta \frac{45}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{3}{5}$$

Substitúe y por \frac{3}{5} en x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por \frac{3}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Suma \frac{9}{4} a -\frac{9}{20} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$4x+3y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$5y+5x=12$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$4x+3y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$5y+5x=12$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Simplifica.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Resta 20x+20y=48 de 20x+15y=45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-20y=45-48$$

Suma 15y a -20y.

$$-5y=45-48$$

Suma 45 a -48.

$$-5y=-3$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Substitúe y por \frac{3}{5} en 5x+5y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Multiplica 5 por \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$5x=9$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$