Resolver {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=-10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=-14$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y-14$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y-14.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} na outra ecuación, -9x-9y=9.

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

Multiplica -9 por -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

Suma \frac{45y}{4} a -9y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

Resta \frac{63}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{9}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-10$$

Substitúe y por -10 en x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

Multiplica -\frac{5}{4} por -10.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

Suma -\frac{7}{2} a \frac{25}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=-10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Para que 4x e -9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

Simplifica.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

Resta -36x-36y=36 de -36x-45y=126 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

Suma -36x a 36x. -36x e 36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-45y+36y=126-36$$

Suma -45y a 36y.

$$-9y=126-36$$

Suma 126 a -36.

$$-9y=90$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-10$$

Substitúe y por -10 en -9x-9y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

Multiplica -9 por -10.

$$-9x+90=9$$

Resta 90 en ambos lados da ecuación.

$$-9x=-81$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-10$$