Resolver {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 7y en ambos lados.

$$5x-17+7y=0$$

Engadir 17 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x+7y=17$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+5y=-12$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-5y-12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Substitúe x por -\frac{5y}{4}-3 na outra ecuación, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

Multiplica 5 por -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Suma -\frac{25y}{4} a 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{128}{3}$$

Substitúe y por \frac{128}{3} en x=-\frac{5}{4}y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Multiplica -\frac{5}{4} por \frac{128}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Suma -3 a -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 7y en ambos lados.

$$5x-17+7y=0$$

Engadir 17 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x+7y=17$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 7y en ambos lados.

$$5x-17+7y=0$$

Engadir 17 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$5x+7y=17$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Simplifica.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Resta 20x+28y=68 de 20x+25y=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$25y-28y=-60-68$$

Suma 25y a -28y.

$$-3y=-60-68$$

Suma -60 a -68.

$$-3y=-128$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=\frac{128}{3}$$

Substitúe y por \frac{128}{3} en 5x+7y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

Multiplica 7 por \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Resta \frac{896}{3} en ambos lados da ecuación.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$