Resolver {l}{4x+2y=-18}{-2x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 18 } \\ { - 2 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} = -4.375$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=-18$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y-18$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-18\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y-18.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y-9}{2} na outra ecuación, -2x-5y=10.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}\right)-5y=10$$

Multiplica -2 por \frac{-y-9}{2}.

$$y+9-5y=10$$

Suma y a -5y.

$$-4y+9=10$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=1$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Substitúe y por -\frac{1}{4} en x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -\frac{1}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}$$

Suma -\frac{9}{2} a \frac{1}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{35}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\left(-18\right)+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{8}\left(-18\right)-\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Para que 4x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-2\times 4x-2\times 2y=-2\left(-18\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 10$$

Simplifica.

$$-8x-4y=36,-8x-20y=40$$

Resta -8x-20y=40 de -8x-4y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x-4y+20y=36-40$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+20y=36-40$$

Suma -4y a 20y.

$$16y=36-40$$

Suma 36 a -40.

$$16y=-4$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Substitúe y por -\frac{1}{4} en -2x-5y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-5\left(-\frac{1}{4}\right)=10$$

Multiplica -5 por -\frac{1}{4}.

$$-2x+\frac{5}{4}=10$$

Resta \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=\frac{35}{4}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{35}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$